對于任意一個圓，其面積S都是等于圓周率π與半徑平方r^2的乘積。或者說，任意一個圓的面積與其半徑平方之比都是相同的常數(shù)——圓周率。那么，這個結(jié)論是經(jīng)過數(shù)學上的嚴格證明，還是一種數(shù)學直覺呢?事實上，圓面積公式(S=πr^2)在數(shù)學上能夠嚴格證明，無論是我國古代的數(shù)學家，還是古希臘的數(shù)學家，都證明了這個公式。圓面積公式的證明方法有很多種，下面簡單舉幾個例子。

(1)極限法一

如果把一個圓分成n個等份，然后將其拼接成如下的四邊形：

當n趨于無窮大之時，也就是圓分成了無窮多個等份，那么，該四邊形就會變成長方形。顯然，這個長方形的長為半圓周長(πr)，寬為圓的半徑(r)，該長方形的面積等于圓的面積，所以可得圓面積公式為：S=πr?r=πr^2。不過，為了完成這樣的證明，首先還需證明圓周長公式(C=2πr)。通過相似三角形原理，用幾何法很容易可以證明圓的周長與直徑之比為相等的常數(shù)，該常數(shù)即為圓周率。

(2)極限法二

把圓分成n等份，連接每個扇形中半徑與圓的交點。并假設(shè)每個扇形的圓心角為2θ，則2θ=2π/n。

考察其中一個三角形OAB，根據(jù)三角函數(shù)可得，OC=rcosθ，AB=2rsinθ，三角形OAB的面積為：

S△OAB=1/2·AB·OC=r^2sinθcosθ

當n趨于無窮大時，圓的面積可以表示為：

S=lim(n→+∞)n·S△OAB

根據(jù)極限原理，可以算出S=πr^2。

(3)積分法

嚴格意義上來說，這也是一種極限法，但這里是通過圓的方程(x^2+y^2=r^2)來嚴格計算圓面積：